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la méthode de Gauss pour \(\operatorname{Vect}(u_1,\ldots,u_n)\)- $$\operatorname{Vect}(u_1,\ldots,u_n)={{\operatorname{Vect}(\underbrace{u_{i_1},\ldots,u_{i_n} }_{\text{par permutation} })}}$$
- $$\operatorname{Vect}(\lambda u_1,\ldots,u_n)={{\operatorname{Vect}(u_1,\ldots,u_n)}}$$
- $$\operatorname{Vect}(u_1,u_2,\ldots,u_n)={{\operatorname{Vect}(u_1,u_2+\lambda u_1,u_3,\ldots,u_n)}}$$
- $${{\operatorname{Vect}(u_1,u_2,\ldots,u_{n-1},\bar0)}}={{\operatorname{Vect}(u_1,\ldots,u_{n-1})}}$$
Proposition 1:
Soit \(U_m=\alpha_1u_1+....+\alpha_{m-1}u_{m-1}=\sum_{i=1}^{m-1}\alpha_iu_i\)
Alors
$$Vect(u_{1},...,u_m)={{Vect(u_1,....,u_{m-1})}}$$
\(\longrightarrow\) Preuve:
$$\begin{align}&Vect(u_1,....,u_m)=^{(3)}Vect(u_1,....,u_{m-1},u_m,-\alpha_1u_1,....,-\alpha_{m-1}u_{m-1}\\ &=Vect(u_1,....u_{m-1},\overline 0)=^{(4)}Vect(u_1,....,u_{m-1})\end{align}$$
Proposition 2:
Soit \(F=\{u_1,....u_m\}\) est une famille libre dans \(E\). Alors la famille \(\{u_1,....u_{m+1}\}\) est libre aussi si et seulement si \(u_{m+1}\not\in Vect(u_1,....,u_m)\)
\(\longrightarrow\) Preuve:
$$\begin{align}&\text{Supposons que }\{u_1,....,u_{m+1}\} \text{ soit liée}\\ &\text{Alors, il existe }\alpha_1u_1+....\alpha_mu_m+\beta u_{m+1}=\overline 0\\ &\text {Si }\beta=0 \text{ alors }\{u_1,...,u_m\}\text{ est-il liée?}\\ & \text{Donc }\beta\neq 0\\ & \alpha_1u_1+....\alpha_mu_m+\beta u_{m+1}=\overline 0\iff u_{m+1}=\sum_{i=1}^{m}\frac {-\alpha_i}{\beta}u_i\iff Vect(u_1,...u_m)\end{align}$$
